첫걸음 8장에서 터널링을 만났습니다. 여기서는 그것이 얼마나 일어나는지를 «양»으로 봅니다.
에너지 \(E\)인 입자가 높이 \(V\)인 벽을 만났다고 합시다(\(E < V\)). 고전물리라면 반드시 튕겨 나옵니다. 그러나 슈뢰딩거 방정식을 풀면 벽 안쪽에서 파동함수가 0이 되는 것이 아니라 지수적으로 줄어듭니다. 줄어드는 정도는 \(\psi \propto e^{-\kappa x}\) 꼴이고, 여기서 \(\kappa = \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\) 입니다.
벽 두께가 \(d\)라면 반대편에 남은 파동함수는 \(e^{-\kappa d}\) 만큼이고, 확률은 그것을 제곱한 \(T \approx e^{-2\kappa d}\) 정도가 됩니다. 이 식이 말하는 바는 분명합니다 — 터널링 확률은 벽 두께에 지수적으로 민감합니다. 두께가 두 배가 되면 확률은 제곱만큼 줄어듭니다.
또 \(\kappa\)에 질량 \(m\)의 제곱근이 들어 있으므로, 가벼울수록 잘 통과합니다. 전자는 쉽게 터널링하지만 야구공은 우주 나이만큼 기다려도 벽을 통과하지 못합니다. 같은 이유로 수소(가벼움)는 화학반응에서 터널링이 눈에 띄고, 무거운 원자는 거의 그렇지 않습니다.
실제로 쓰이는 자리를 봅시다. ① 태양 — 수소 핵끼리 융합하려면 서로 밀어내는 전기력의 벽을 넘어야 하는데, 태양 중심의 온도로도 그 벽을 «넘을» 에너지는 부족합니다. 터널링으로 벽을 «지나가기» 때문에 태양이 탑니다. ② 알파붕괴 — 무거운 핵에서 알파입자가 핵력의 벽을 터널링해 빠져나옵니다. 1928년 가모프가 이것으로 붕괴 반감기를 설명했습니다. ③ 주사터널현미경(STM) — 뾰족한 바늘을 표면에 아주 가까이 대면 전자가 틈을 터널링해 전류가 흐릅니다. 전류가 두께에 지수적으로 민감하므로, 원자 한 개 높이의 굴곡도 전류 변화로 읽힙니다. 1981년 비니히와 로러가 만들어 1986년 노벨상을 받았습니다.