드브로이가 전자에 파동을 붙였다면(5장), 슈뢰딩거는 그 파동이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 계산하는 방정식을 1926년에 내놓았습니다. 이 방정식의 답을 파동함수라 하고 보통 그리스 문자 ψ(프사이)로 씁니다.
그런데 ψ 자체는 무엇을 뜻할까요? 슈뢰딩거는 처음에 전자가 실제로 구름처럼 퍼져 있는 것이라고 생각했습니다. 그러나 곧 문제가 드러났습니다 — 전자를 검출기로 잡으면 언제나 한 점에서 통째로 발견되지, 반쪽이 발견되는 일은 없습니다.
막스 보른이 답을 내놓았습니다. ψ는 그 자체로 물질의 밀도가 아니라, 제곱한 값 |ψ|²이 그 자리에서 전자를 발견할 확률을 나타낸다는 것입니다. 전자는 퍼져 있는 물질이 아니라, «어디서 발견될지에 대한 확률이 퍼져 있는» 상태입니다.
이 관점으로 원자를 다시 보면, 보어의 «궤도»는 사라집니다. 전자는 정해진 원을 도는 것이 아니라 핵 주위에 확률의 구름처럼 존재합니다. 이 구름을 오비탈이라 부릅니다. 흔히 보는 아령 모양·공 모양 그림이 바로 이것으로, 화가가 상상해 그린 것이 아니라 슈뢰딩거 방정식을 실제로 풀어 나온 모양입니다.
슈뢰딩거 방정식을 수소 원자에 풀면, 보어가 «가정»했던 띄엄띄엄한 에너지 값이 추가 가정 없이 저절로 나옵니다. 방정식과 경계 조건만으로 결과가 나온다는 점에서, 이것은 보어 모형보다 한 단계 깊은 설명입니다.
🔬 한 걸음 더 — 왜 파동함수는 제곱해야 하나
파동함수는 복소수 값을 가집니다. 복소수는 음수의 제곱근을 포함하는 수라서, 그 자체로는 «몇 개가 있다»거나 «얼마나 진하다»로 읽을 수 없습니다. 확률은 반드시 0 이상의 실수여야 하므로, ψ에 절댓값을 취하고 제곱해 |ψ|²을 만들어야 비로소 확률로 쓸 수 있습니다.
그런데 복소수라는 점이 불필요한 장식은 아닙니다. 두 파동함수를 더할 때 복소수의 «방향»이 서로 어긋나면 상쇄되고, 맞으면 보강됩니다 — 이것이 1장의 간섭무늬를 수학적으로 만들어 내는 장치입니다. 확률만 더하면 간섭이 나오지 않습니다. 확률을 더하기 전에 파동함수를 먼저 더해야 실험과 맞습니다. 이 한 줄이 양자역학과 고전 확률론을 가르는 자리입니다.
✏️ 이 장의 문제 7개
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B16기본
슈뢰딩거의 파동함수 ψ에서, |ψ|²(절댓값의 제곱)은 그 위치에서 입자를 발견할 ( )을 의미한다.
B17기본
원자 속 전자의 위치를 확률적으로 나타낸, '구름처럼 퍼져있는' 형태의 그림을 무엇이라 부르는가?
B37기본
슈뢰딩거의 파동함수 ψ에서 |ψ|² 값이 어떤 위치에서 크다는 것은, 그 위치에서 전자가 발견될 ( )이 높다는 뜻이다. 그래서 전자는 원자핵 주위에 정해진 궤도를 도는 것이 아니라 ( ) 형태로 존재한다고 표현한다.
B38기본
"파동함수 ψ 값 자체를 실험으로 직접 측정해서, 전자가 특정 위치에 있는지 그 자리에서 바로 확인할 수 있다." 이 설명은 옳은가? OX로 답하고 이유를 쓰시오.
M29중간
슈뢰딩거 방정식의 해인 파동함수 ψ는 직접 눈으로 관측할 수 있는 물리량이 아니다. 대신 |ψ|²이 어떤 의미를 가지는지, '전자가 특정 위치에서 발견될 확률이 크다'는 말이 무엇을 뜻하는지 서술하시오.
S18심화
보어 모형은 전자가 정해진 궤도를 돈다고 설명했고, 슈뢰딩거의 파동함수는 위치를 확률로만 설명한다. 두 모형의 차이와, 왜 슈뢰딩거의 방식이 불확정성 원리와 모순되지 않는지 설명하시오.
S24심화
다음은 한 학생의 설명이다. '|ψ|²이 큰 곳에는 전자가 절반쯤 걸쳐서 존재하고, 작은 곳에는 아주 조금만 존재한다.' 틀린 부분을 찾아 고치시오.
